Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（1，0），OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）作出△ABC的外接圓；
（3）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB＜∠ACB，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍；
（4）Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A′，若QA-QB=

2

，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先將已知的拋物線解析式進(jìn)行配方，得出對(duì)稱軸方程后結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)可確定B點(diǎn)的坐標(biāo)，由OB=OC的條件能得到C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)的解析式．
（2）作BC的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，以FB為半徑作⊙F就是△ABC的外接圓；
（3）由點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），可得當(dāng)∠APB＜∠ACB，對(duì)稱軸上的點(diǎn)P_{縱坐標(biāo)}＞2或P_{縱坐標(biāo)}＜-2時(shí)，∠APB＜∠ACB，
（4）A、A′關(guān)于角平分線對(duì)稱，那么QA、QA′也關(guān)于該角平分線對(duì)稱，即QA=QA′，那么QA-QB的長(zhǎng)其實(shí)就是AB的長(zhǎng)，可由這個(gè)條件入手解答；易知點(diǎn)D、B的坐標(biāo)，能求出∠ABD的度數(shù)（或相關(guān)三角函數(shù)值），過(guò)A′作A′N⊥x軸，在構(gòu)建的Rt△A′BN中，∠A′BN的度數(shù)已求出，可得到BN、A′N的長(zhǎng)，即可求出A′的坐標(biāo)和直線A′B的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示出AQ、A′Q的長(zhǎng)，以這兩條線段相等作為等量條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，

∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．
∵拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=3．
可得該拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，
∴OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
將點(diǎn)C（0，3）代入該解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-3）．
解得a=1．
∴此拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（2）如圖2，作BC的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，以FB為半徑作⊙F就是△ABC的外接圓；

（3）由圖2可得，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）
∴當(dāng)∠APB＜∠ACB，對(duì)稱軸上的點(diǎn)P_{縱坐標(biāo)}＞2或P_{縱坐標(biāo)}＜-2時(shí)，∠APB＜∠ACB，
（4）∵點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為B（3，0）、D（2，-1），
可得直線BD的解析式為y=x-3，直線BD與x軸所夾的銳角為45°．
∵點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A'，如圖3，

若設(shè)AA'與∠AQB的平分線的交點(diǎn)為M，
則有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三點(diǎn)在一條直線上．
∵QA-QB=

2

，
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=

2

，
作A'N⊥x軸于點(diǎn)N．
∵點(diǎn)Q在線段BD上，Q，B，A'三點(diǎn)在一條直線上，
∴A'N=BA'•sin45°=1，BN=BA'•cos45°=1．
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（4，1）．
∵點(diǎn)Q在線段BD上，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x，x-3），其中2＜x＜3．
∵QA=QA'，
∴由兩點(diǎn)間的距離公式得 （x-1）²+（x-3）²=（x-4）²+（x-3-1）²，
解得x=

11

4

，經(jīng)檢驗(yàn)，x=

11

4

，在2＜x＜3的范圍內(nèi)．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（

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4

，-

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)題綜合題，融合了圓、解直角三角形、軸對(duì)稱圖形等重點(diǎn)知識(shí)，使得難度增加不少，解題的關(guān)鍵，應(yīng)注意并總結(jié)轉(zhuǎn)化思想在解題中的妙用．