Question

4．在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，直線AD、CE交于點H，已知EH=EB=3，AE=4，則線段DH的長為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)AD⊥BC，CE⊥AB，可得出∠EAH+∠B=90°∠EAH+∠AHE=90°，則∠B=∠AHE，則△AEH≌△CEB，從而得出CE=AE，根據(jù)已知條件得出CH的長，利用勾股定理求出AH的長，再通過證明△AEH∽△CDH，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊比值相等即可求出DH的長．

解答 解：∵AD⊥BC，
∴∠EAH+∠B=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠EAH+∠AHE=90°，
∴∠B=∠AHE，
∵EH=EB，
∴△AEH≌△CEB，
∴CE=AE，
∵EH=EB=3，AE=4，
∴CH=CE-EH=4-3=1，
∵∠AEH=∠CDH=90°，∠AHE=∠CHD，
∴△AEH∽△CDH，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AE}{DH}$，
∵在Rt△AEH中，AH=$\sqrt{A{E}^{2}+E{H}^{2}}$=5，
∴$\frac{5}{1}$=$\frac{3}{DH}$，
∴DH=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，根據(jù)同角的余角相等得出∠B=∠AHE，證明三角形全等進而求出CH=1，是解此題的關(guān)鍵．