Question

等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AE，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
（1）求證：BD=CE；
（2）求證：BD⊥CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）由三角形ABC與三角形ADE都為等腰直角三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)得到兩邊及夾角相等，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）延長CE到F，交BD于點F，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠ACE=∠ABD，利用等腰三角形的兩銳角為45°，等量代換得到CF垂直于BD，得證．

解答：證明：（1）∵△ABC與△ADE都為等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，

AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）延長CE，交BD于點F，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠BCE=45°，
∴∠ABD+∠BCE=45°，
∴∠FBC+∠BCF=∠ABC+∠ABD+∠BCF=90°，
∴∠BFC=90°，
則CF⊥BD，即BD⊥CE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．