Question

如圖，已知△ABC與△ACD都是邊長為2的等邊三角形，如圖有一個(gè)60°角的三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)分別交BC、CD于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．
（1）試說明：△PAQ是等邊三角形；
（2）求四邊形APCQ的面積；
（3）填空：當(dāng)BP=

1

時(shí)，S_△APQ最小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AB=AC，∠B=∠ACD=60°，再求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“角邊角”證明△ABP和△ACQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=AQ，再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的面積相等可得△ABP的面積=△ACQ的面積，然后求出四邊形APCQ的面積=△ABC的面積，再求出等邊△ABC的面積即可；
（3）根據(jù)垂線段最短可得AP⊥BC時(shí)，AP最短，S_△APQ最小，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BP=

1

2

BC．

解答：（1）證明：∵△ABC與△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵在△ABP和△ACQ中，

∠BAP=∠CAQ AB=AC ∠B=∠ACD

，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等邊三角形；

（2）解：∵△ABP≌△ACQ，
∴△ABP的面積=△ACQ的面積，
∴四邊形APCQ的面積=△APC的面積+△ACQ的面積，
=△APC的面積+△ABP的面積，
=△ABC的面積，
=

1

2

×2×（2×

3

2

）=

3

；

（3）解：AP⊥BC時(shí)，AP最短，S_△APQ最小，
此時(shí)，BP=

1

2

BC=

1

2

×2=1．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，（1）根據(jù)兩個(gè)角的和等于60°求出∠BAP=∠CAQ是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的突破口．