Question

2．如圖，ABCD是圓內接四邊形，AB、DC的延長線交于E，AD、BC的延長線交于F，EP、FQ切圓于P、Q兩點，求證：EP²+FQ²=EF²．

Answer 1

分析 作輔助圓，構建四點共圓的四邊形，利用切割線定理列式：EP²=EC•ED，F(xiàn)Q²=FC•FB，得出結論．

解答 證明：作△BCE的外接圓，交EF于G，連接CG，
∵A、B、C、D四點共圓，
∴∠FDC=∠ABC，
∵B、C、G、E四點共圓，
∴∠ABC=∠CGE，
∴∠FDC=∠ABC=∠CGE，
∴F、D、C、G四點共圓，
由切割線定理得：EP²=EC•ED，
FQ²=FC•FB，
EF²=（EG+GF）•EF=EG•EF+GF•EF=EC•ED+FC•FB，
∴EP²+FQ²=EF²．

點評 本題考查了切割線定理和圓內接四邊形的性質，本題運用了圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）；反之也成立；在證明線段的平方和時，一方面考慮利用勾股定理來求，另一方面考慮利用切割線定理列式得出．