Question

如圖①，在平面直角坐標系中，點A是拋物線y=x2在第一象限上的一個點，連結(jié)OA，過點A作AB⊥OA，交y軸于點B，設(shè)點A的橫坐標為n．

【探究】：

（1）當(dāng)n=1時，點B的縱坐標是　　；

（2）當(dāng)n=2時，點B的縱坐標是　　；

（3）點B的縱坐標是　　（用含n的代數(shù)式表示）．

【應(yīng)用】：

如圖②，將△OAB繞著斜邊OB的中點順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到△BCO．

（1）求點C的坐標（用含n的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點A在拋物線上運動時，點C也隨之運動．當(dāng)1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積是　　．

 

Answer 1

探究：(1)2,(2)5,(3) n2+1 應(yīng)用:(1)（﹣n，1）,(2)2.

【解析】

試題分析：探究；依據(jù)直角三角形的射影定理即可求得B點的坐標．

應(yīng)用：（1）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得C點的坐標，（2）通過（1）可求得C1、C2的坐標，從而得出矩形面積和三角形的面積，最后求得當(dāng)1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積．

試題解析：

探究（3）如圖1所示：設(shè)點A的橫坐標為n，點A是拋物線y=x2在第一象限上的一個點；

∴A（n，n2）；

∴AD=n，OD=n2；

在Rt△ACB中，AD2=OD•BD；

設(shè)B點的縱坐標為y1，則n2=n2•（y1﹣n2），

解得：y1=n2+1，

∴點B的縱坐標是 n2+1．

應(yīng)用：（1）點B的縱坐標是 n2+1，A點的縱坐標是n2，

∴BD=1，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可知CE=AD=n，OE=BD=1；

∴C點的坐標為：（﹣n，1）；

（2）當(dāng)n=1時C點的坐標為C1（﹣1，1），當(dāng)n=5時C點的坐標為C2（﹣5，1），如上圖所示；

S=S﹣S=×1×5﹣×1×1=2．

∴當(dāng)1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積是2．

考點：二次函數(shù)綜合題