Question

如圖，已知菱形AOBD的A、B、D三點在⊙O上，延長BO至點P，交⊙O于點C，且BP=3OB．

求證：AP是⊙O的切線．

 

 

Answer 1

證明見解析.

【解析】

試題分析：連接OD、AO，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AO=OB=BD=DA，則可判斷△OAD和△OBD都為等邊三角形，所以∠AOD=∠BOD=60°，則∠AOP=60°，于是又可判斷△AOC為等邊三角形，所以AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，由PB=3BO得到CP=OC=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠P=∠CAP，然后利用三角形外角性質(zhì)有∠P+∠CAP=∠ACO=60°，得到∠CAP=30°，所以∠OAP=90°，最后利用切線的判定定理得到AP為⊙O的切線．

試題解析：證明：連接OD、AO，如圖，

∵四邊形AOBD為菱形，

∴AO=OB=BD=DA，

∴△OAD和△OBD都為等邊三角形，

∴∠AOD=∠BOD=60°，

∴∠AOP=60°，

又∵OA=OC，

∴△AOC為等邊三角形，

∴AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，

∵PB=3BO，OC=OB，

∴CP=OC=AC，

∴∠P=∠CAP，

∵∠P+∠CAP=∠ACO=60°，

∴∠CAP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥AP，

∴AP為⊙O的切線．

考點：切線的判定．