Question

如圖，已知△ABC與△ACD都是邊長為2的等邊三角形，如圖有一個60°角的三角板繞著點A旋轉(zhuǎn)分別交BC、CD于點P、Q兩點（不與端點重合）．
（1）試說明：△PAQ是等邊三角形；
（2）求四邊形APCQ的面積；
（3）填空：當BP=______時，S_△APQ最�。�

Answer 1

（1）證明：∵△ABC與△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵在△ABP和△ACQ中，

∠BAP=∠CAQ AB=AC ∠B=∠ACD

，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等邊三角形；

（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴△ABP的面積=△ACQ的面積，
∴四邊形APCQ的面積=△APC的面積+△ACQ的面積，
=△APC的面積+△ABP的面積，
=△ABC的面積，
=

1

2

×2×（2×

3

2

）=

3

；

（3）AP⊥BC時，AP最短，S_△APQ最小，
此時，BP=

1

2

BC=

1

2

×2=1．