Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²++c與x軸交于點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是拋物線上一點(diǎn)，且△ABP的面積是，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交OC于E點(diǎn)．設(shè)CD的長(zhǎng)為t，四邊形DEOB的周長(zhǎng)為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²++c與x軸交于點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)△ABP的面積是，得出|y|=，再利用圖象開(kāi)口方向得出y的值，進(jìn)而求出即可；
（3）根據(jù)已知得出△DCE∽△OCB，得到==，再表示出EO，BO，DB，DE長(zhǎng)度即可得出答案．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²++c與x軸交于點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．
∴，
解得：，
∴y=-x²++4；

（2）令y=0，可得x₁=-1，x₂=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
依據(jù)題意得出：
×4×|y|=，
∴|y|=，
∵y=-x²++4；
=-（x-1）²+，
∴拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），
∴縱坐標(biāo)最大值為：，
∴y=-，
∴-=-x²++4；
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，-），（-2，-）；

（3）如圖所示：
在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，
由勾股定理得BC=5，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC=∠BOC=90°，
∵∠DCE=∠OCB，
∴△DCE∽△OCB，
∴==，
∵CD=t，
∴==，
∴CE=t，DE=t，
∴四邊形DEOB的周長(zhǎng)為l=EO+BO+DB+DE=4-t+3+t+5-t=12-t，
t的取值范圍是：0＜t＜．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)已知得出△DCE∽△OCB，進(jìn)而表示出EO，BO，DB，DE長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．