Question

（2013•秀洲區(qū)二模）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC邊上一點(diǎn)，作∠BPE=

1

2

∠BCA，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PE，垂足為D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①）．求證：△ABF≌△APE；
（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想：

BD

PE

=

1

2

，并結(jié)合圖②證明你的猜想；
（3）若把條件“AB=AC”改為AB=mAC，其他條件不變（如圖③），求

BD

PE

的值．（用含m的式子表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠BAC=90°，BD⊥PE，可知∠APE=∠FBA，根據(jù)ASA定理即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q，根據(jù)∠BPE=

1

2

∠BCA可知∠BPE=

1

2

∠BCA=

1

2

∠BPQ，再根據(jù)BD⊥PE，可得△BPQ是等腰三角形，所以BD=

1

2

BQ，由全等三角形的判定定理可知△BGQ≌△PGE，所以PE=BQ，故可得出結(jié)論；
（3）同（2）可得△BGQ∽△PGE，所以

BQ

PE

=

BG

PG

=

AB

AC

=m，再由BD=

1

2

BQ即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，BD⊥PE
∴∠APE=∠FBA
∵在Rt△ABF與Rt△APE中，

∠BAC=∠BAF AB=AC ∠APE=∠FBA

∴△ABF≌△APE（ASA）；

（2）解：

BD

PE

=

1

2

．理由如下：
過(guò)P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q．
∵∠BPE=

1

2

∠BCA，
∴∠BPE=

1

2

∠BCA=

1

2

∠BPQ，
∵BD⊥PE，
∴△BPQ是等腰三角形，
∴BD=

1

2

BQ，
∵PQ∥AC，BA⊥AC，
∴BA⊥PQ，
∵AB=AC，
∴PG=BG，
∵∠DBE+∠DEB=90°，∠DEB=∠GEP，∠GEP+∠GPE=90°，
∴∠DBE=∠GPE，
∵在△BGQ與△PGE中，

∠PGE=∠BGQ PG=BG ∠GPE=∠DBE

，
∴△BGQ≌△PGE（ASA），
∴PE=BQ，
∴

BD

PE

=

1

2

．
故答案為：

1

2

；

（3）解：∵同（2）可得△BGQ∽△PGE，
∴

BQ

PE

=

BG

PG

=

AB

AC

=m，
∵BD=

1

2

BQ，
∴

BD

PE

=

1

2

m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．