Question

如圖，在凸四邊形ABCD中，C、D為定點，CD=3，A、B為動點，滿足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）寫出cosC與cosA的關系式；
（Ⅱ）設△BCD和△ABD的面積分別為S和T，求S²+T²的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理與余弦定理

專題：

分析：（Ⅰ）連結BD，在△BCD中及在△ABD中，利用余弦定理分別表示BD²，BD²=BD²的相等關系即可得出cosC與cosA的關系式；
（Ⅱ）利用正弦定理表示出S及T，利用（Ⅰ）的關系式表示出S²+T²即可得出S²+T²的最大值．

解答：解：（Ⅰ）如圖，連結BD，

∵CD=3，AB=BC=DA=1．
∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=10-6cosC
在△ABD中，BD²=2-2cosA，
∴10-6cosC=2-2cosA，
∴cosA=3cosC-4，
（Ⅱ）S=

1

2

BC•CD•sinC=

3

2

sinC，T=

1

2

AB•ADsinA=

1

2

sinA，
∵cosA=3cosC-4，
∴S²+T²=

9

4

sin²C+

1

4

sin²A=

9

4

（1-cos²C）+

1

4

（1-cos²A）=

5

2

-

9

4

cos²C-

1

4

cos²A=-

9

2

cos²C+6cosC-

3

2

=-(

3 2

2

cosC-

2

)2+

1

2

，
∴當cosC=

2

3

時，S²+T²的最大值是

1

2

．

點評：本題主要考查了正弦定理與余弦定理及三角形面積公式，熟練掌握正弦定理與余弦定理是解題的關鍵．