Question

如圖，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點(diǎn)A，BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)M，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD交BM于點(diǎn)N，ME⊥BC于點(diǎn)E，AB²＝AF·AC，cos∠ABD＝，AD＝12．

(1)求證：△ANM≌△ENM；

(2)求證：FB是⊙O的切線；

(3)證明四邊形AMEN是菱形，并求該菱形的面積S．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵BC是⊙O的直徑 　　∴∠BAC＝90o 　　又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC， 　　∴AM＝ME，∠AMN＝EMN 　　又∵M(jìn)N＝MN， 　　∴△ANM≌△ENM 　　(2)∵AB2＝AF·AC 　　 　　又∵∠BAC＝∠FAB＝90o 　　∴△ABF∽△ACB 　　∴∠ABF＝∠C 　　又∵∠FBC＝∠ABC＋∠FBA＝90o 　　∴FB是⊙O的切線 　　(3)由(1)得AN＝EN，AM＝EM，∠AMN＝EMN， 　　又∵AN∥ME，∴∠ANM＝∠EMN， 　　∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM， 　　∴AM＝ME＝EN＝AN 　　∴四邊形AMEN是菱形 　　∵cos∠ABD＝，∠ADB＝90o 　　 　　設(shè)BD＝3x，則AB＝5x，，由勾股定理 　　而AD＝12，∴x＝3 　　∴BD＝9，AB＝15 　　∵M(jìn)B平分∠AME，∴BE＝AB＝15 　　∴DE＝BE－BD＝6 　　∵ND∥ME，∴∠BND＝∠BME，又∵∠NBD＝∠MBE 　　∴△BND∽△BME，則 　　設(shè)ME＝x，則ND＝12－x，，解得x＝ 　　∴S＝ME·DE＝×6＝45