Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，點M為半圓的中點，點P為另一半圓上一點（不與A、B重合），點I為△ABP的內(nèi)心，IN⊥BP于N．
（1）求證：∠APM=45°；
（2）求證：AB=$\sqrt{2}$IM；
（3）試探究$\frac{IN+OB}{PM}$的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）連接OM．根據(jù)“同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半”進行解答，即可證得結(jié)論；
（2）連接AM、BM．根據(jù)三角形PIB的外角定理、三角形的內(nèi)心的定義證得△MBI的兩邊MB=IM；根據(jù)勾股定理求得AB=$\sqrt{2}$MB．易證該結(jié)論；
（3）根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式、圓的半徑與直徑是數(shù)量關系求得IN+OB=$\frac{1}{2}$（AP+BP）；然后過點A作AG⊥PM于點G，過點B作BH⊥PM于點H，連接AM，BM，易得△APG與△BPH是等腰直角三角形且△AMG≌△MBH，繼而求得AP+BP=$\sqrt{2}$（PH+MH）=$\sqrt{2}$PM，繼而求得答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接OM．
∵點M是半圓的中點，
∴∠AOM=90°．
∵∠APM=$\frac{1}{2}$∠AOM，
∴∠APM=45°；

（2）證明：如圖1，連接AM、BM．
∵點M是半圓的中點，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴AM=BM，
∵∠AOM=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$MB．
∵∠ABM=$\frac{1}{2}$AOM=45°，∠BPI=$\frac{1}{2}$∠BOM=45°，
∴∠ABM=∠BPI，
∵點I為△ABP的內(nèi)心，
∴∠ABI=∠PBI，
∵∠MIB=∠BPI+∠PBI，∠MBI=∠ABM+∠ABI，
∴∠MIB=∠MBI，
∴MB=IM．
∴AB=$\sqrt{2}$IM；

（3）不變．理由：
解：根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式知，IN=$\frac{AP+BP-AB}{2}$，則IN+OB=$\frac{1}{2}$（AP+BP），
如圖2，過點A作AG⊥PM于點G，過點B作BH⊥PM于點H，連接AM，BM，
則△APG與△BPH是等腰直角三角形，∠AGM=∠MHB=90°，
∴PB=$\sqrt{2}$PH，PA=$\sqrt{2}$AG，
∵∠AMG+∠BMH=∠AMG+∠MAG=90°，
∴∠MAG=∠BMH，
在△AMG和△MBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGM=∠MHB}\\{∠MAG=∠BMH}\\{AM=MB}\end{array}\right.$，
∴△AMG≌△MBH（AAS），
∴AG=MH，
∴PA=$\sqrt{2}$MH，
∴AP+BP=$\sqrt{2}$（PH+MH）=$\sqrt{2}$PM，
∴$\frac{IN+OB}{PM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了圓的綜合題．本題涉及到的知識點有：圓周角定理，直角三角形的內(nèi)切圓半徑公式，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．