Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，四邊形EGFH是正方形，當(dāng)點E在AB上，點F在CD上，點A，C，G，H在同一條直線上時，CH的長是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，判定△CFO≌△AOE，并求得AO的長，再判定△AOE∽△ABC，求得OECH的長．

解答 解：連接EF交AC于O，
∵四邊形EGFH是正方形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO與△AOE中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CO=AO=$\sqrt{5}$，
∵∠CAB=∠EAO，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，即 $\frac{OE}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$=OH，
∴CH=CO-HO=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)．本題若不運(yùn)用相似三角形，則可以過點F作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，并運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算求解．