Question

如圖1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/秒，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤4）
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△AQP面積為S=6cm²；
（4）如圖2，把△AQP翻折，得到四邊形AQPQ′能否為菱形？若能，求出菱形的周長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的面積=

1

2

AC•BC計(jì)算即可；
（2）由PQ∥BC時(shí)的比例線段關(guān)系，列一元一次方程求解即可；
（3）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D，構(gòu)造比例線段，求得PD，從而可以得到S的表達(dá)式，把s=6代入求出此時(shí)的時(shí)間t即可；
（4）假設(shè)存在時(shí)刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系，求得PQ、QD和PD的長(zhǎng)度；然后在Rt△PQD中，求得時(shí)間t的值；最后求菱形的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴△ABC的面積=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24cm²；

（2）∵BP=2t，
∴AP=10-2t，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ACB，
∴

10-2t

10

=

2t

8

，
解得：t=

20

9

，
∴當(dāng)t=

20

9

時(shí)，PQ∥BC；

（3）如圖1所示，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D．
則PD∥BC，
則

AP

AB

=

PD

BC

，
即PD=6-

6

5

t，
∵S=

1

2

AQ•PD=

1

2

×2t×（6-

6

5

t），
∴當(dāng)S=6時(shí)，

1

2

×2t×（6-

6

5

t）=6，
解得：t=

5± 5

2

，
∴t=

5± 5

2

時(shí)，△AQP面積為S=6cm²；

（4）假設(shè)存在時(shí)刻t使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t（如圖2所示）．
過(guò)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，
則AM=5-t，
∵

AM

AQ

=

AC

AB

，
∴

5-t

2t

=

8

10

，
解得：t=

25

13

，
∴當(dāng)t=

25

13

時(shí)，使四邊形AQPQ′為菱形，
此時(shí)菱形的周長(zhǎng)為：4AQ=4×2t=4×2×

25

13

=

200

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題是非常典型的動(dòng)點(diǎn)型綜合題，全面考查了相似三角形線段比例關(guān)系、菱形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法與判別式、二次函數(shù)的極值等知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)眾多，計(jì)算量偏大，有一定的難度．本題考查知識(shí)點(diǎn)非常全面，是一道測(cè)試學(xué)生綜合能力的好題．