Question

8．如圖，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點處進行測量．在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點B處側(cè)得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°，若A，B兩點相距130m，則塔的高度CD=10$\sqrt{39}$m．

Answer 1

分析 根據(jù)方位角求出∠ADB，利用仰角的正切值得出AD，BD關(guān)系，在△ABD中使用余弦定理解出AD，BD，從而得出CD．

解答 解：作出平面ABD的方位圖如圖所示：
由題意可知∠WAD=20°，∠EAD=40°，
設(shè)∠ABE=θ，則∠WAB=θ，
∴∠DBA+∠DAB=40°-θ+20°+θ=60°，
∴∠ABD=120°，
設(shè)BD=x，AD=y，則由余弦定理得：AB²=x²+y²-2xycos∠ADB，
即16900=x²+y²+xy．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CD}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{CD}{y}$，
∴CD=$\sqrt{3}$y，
∴x=3y，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{16900={x}^{2}+{y}^{2}+xy}\\{x=3y}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=30\sqrt{13}}\\{y=10\sqrt{13}}\end{array}\right.$．
∴CD=$\sqrt{3}$y=10$\sqrt{39}$．
故答案為：10$\sqrt{39}$．

點評 本題考查了解三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，求出∠ADB及AD，BD的關(guān)系是解題關(guān)鍵．