Question

如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG△ABE；
（2）連接FC，求證：∠FCN=45°；
（3）請(qǐng)問(wèn)在AB邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接DG， ∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形， ∴DA=BA，EA=GA， ∴∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠DAG=∠BAE， ∴△ADG△ABE； （2）證明：如圖2，過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H， ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠HEF， ∵AE=EF， ∴△ABE△EHF， ∴AB=EH，BE=FH， ∴AB=BC=EH， ∴BE+EC=EC+CH， ∴CH=BE=FH， ∴∠FCN=45°； （3）解：如圖3，在AB上取AQ=BE，連接QD， ∵AB=AD， ∴△DAQ△ABE， ∵△ABE△EHF， ∴△DAQ△ABE△ADG， ∴∠GAD=∠ADQ， ∴AG、QD平行且相等， 又∵AG、EF平行且相等， ∴QD、EF平行且相等， ∴四邊形DQEF是平行四邊形． ∴在AB邊上存在一點(diǎn)Q， 使得四邊形DQEF是平行四邊形．

圖1 圖2 圖3