Question

如圖1，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=4，將矩形沿對角線AC剪開，解答以下問題：

（1）在△ACD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，△A₁CD₁是旋轉(zhuǎn)后的新位置（圖2），求此AA₁的距離；
（2）將△ACD沿對角線AC向下翻折（點(diǎn)A、點(diǎn)C位置不動，△ACD和△ABC落在同一平面內(nèi)），△ACD₂是翻折后的新位置（圖3），求此時BD₂的距離；

（3）將△ACD沿CB向左平移，設(shè)平移的距離為x（0≤x≤4）， △A₂C₁D₃是平移后的新位置（圖3），若△ABC與△A₂C₁D₃重疊部分的面積為Y，求Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中， 由勾股定理得，AC==8， 在△ACA1中， ∵AC=A1C1，∠ACA1=60°， ∴△ACA1為等邊三角形， ∴AA1=AC=8； （2）如圖2所示，過B，D2分別作BE⊥AC于E，D2F⊥AC于F，則BE∥D2F， 在Rt△ABC中， ∵AB=4，BC=4，tan∠BAC=， ∴∠BAC=60°， 在Rt△ABE中，AB=4，∠BAE=60°，∠ABE=30°， ∴AE=AB=2，BE=2， 同理，CF=2，D2F=2， ∴EF=AC-AE-CF=8-2-2=4， ∵BED2F， ∴四邊形BEFD2是平行四邊形， ∴BD2=EF=4； （3）如圖3所示，AA2=x，AG=x，AD3=4-x， ∵平移的概念及矩形的性質(zhì)得AG∥C1H，GC1∥AH， ∴四邊形AGC1H是平行四邊形， ∴（0≤x≤4）。