Question

如圖，△ABC中，AB＞AC，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，連接DF，給出以下結(jié)論：①DF∥AB；②∠DAE=

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2

（∠ACB-∠ABC）；③DF=

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2

（AB-AC）；④

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2

（AB-AC）＜AD＜

1

2

（AB+AC）．其中正確的是

 

（把所有正確判斷的序號都填在橫線上）．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長CF交AB于點(diǎn)G，證明△AFG≌△AFC，進(jìn)而得到AC=AG，GF=CF，再證明DF是△CBG的中位線，可得DF∥AB，DF=

1

2

BG，進(jìn)而得到①③正確；然后延長AD到M使AD=DM，證明△ADC≌△MDB可得BM=AC，再利用三角形的三邊關(guān)系可得答案．

解答：解：延長CF交AB于點(diǎn)G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
∵

∠GAF=∠CAF AF=AF ∠AFG=∠AFC

，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴DF是△CBG的中位線，
∴DF∥AB，
故①正確；
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD
∴2∠DAE=∠BAE+∠CAE-2∠BAD=∠AEC-∠B+∠CAE-2∠BAD
=180°-∠C-（∠B+2∠BAD）=180°-∠C-∠FDC
∵DF∥AB，∴∠FDC=∠B
∴2∠DAE=180°-∠C-∠B，
故②錯(cuò)；
∵DF是△CBG的中位線，
∴DF=

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BG=

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2

（AB-AG）=

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（AB-AC），
故③正確；
延長AD到M使AD=DM，
在△ADC和△MDB中

AD=DM ∠ADC=∠MDB DB=CD

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=AC，
∵AB-BM＜AM＜AB+BM，
∴AB-AC＜AM＜AB+AC，
∴

1

2

（AB-AC）＜AD＜

1

2

（AB+AC）．
故④正確，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形中位線，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫出輔助線．