Question

在直角梯形OABC中，CB∥OA，Ð COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F．求直線DE的解析式；

(3)點(diǎn)M是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

[解](1)如圖，作BH^ x軸于點(diǎn)H，則四邊形OHBC為矩形， 　　∴OH＝CB＝3，∴AH＝OA－OH＝6－3＝3， 　　在Rt△ABH中，BH＝＝＝6， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，6)． 　　(2)如上圖，作EG^ x軸于點(diǎn)G，則EG∥BH，　　∴△OEG～△OBH，∴＝＝，又∵OE＝2EB， 　　∴＝，∴＝＝，∴OG＝2，EG＝4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，4)． 　　又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，5)，設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，則，解得k＝－，b＝5．∴直線DE的解析式為：y＝－x＋5． 　　(3)答：存在． 　�、偃鐖D，當(dāng)OD＝DM＝MN＝NO＝5時(shí)，四邊形ODMN為菱形．作MP^ y軸于點(diǎn)P， 　　則MP∥x軸，∴△MPD～△FOD，∴＝＝． 　　又∵當(dāng)y＝0時(shí)，－x＋5＝0，解得x＝10．∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，0)，∴OF＝10． 　　在Rt△ODF中，FD＝＝＝5，∴＝＝， 　　∴MP＝2，PD＝．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2，5＋)． 　　∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－2，)． 　　②如圖，當(dāng)OD＝DN＝NM＝MO＝5時(shí)，四邊形ODNM為菱形．延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P，則MP^ x軸． 　　∵點(diǎn)M在直線y＝－x＋5上，∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(a，－a＋5)，在Rt△OPM中，OP2＋PM2＝OM2，∴a2＋(－a＋5)2＝52，解得a1＝4，a2＝0(舍去)， 　　∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，3)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4，8)． 　　③如圖，當(dāng)OM＝MD＝DN＝NO時(shí)，四邊形OMDN為菱形．連接NM，交OD于點(diǎn)P，則NM與OD互相垂直平分，∴yM＝yN＝OP＝，∴－xM＋5＝，∴xM＝5， 　　∴xN＝－xM＝－5，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－5，)． 　　綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè)，分別為N1(－2，)， 　　N2(4，8)，N3(－5，)．