Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點M．

（1）求拋物線的表達式；

（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；

（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）把點A、B、C的坐標分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組，通過解該方程組即可求得系數(shù)的值；

（2）由（1）中的拋物線解析式易求點M的坐標為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關(guān)系式為y=x+1．由題意設(shè)點D的坐標為（），則點F的坐標為（）．易求DF==．根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求線段DF的最大值；

（3）需要對點P的位置進行分類討論：點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況．此題主要利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行解答．

解答：

解：由題意可知．解得．

∴拋物線的表達式為y=．

（2）將x=0代入拋物線表達式，得y=1．∴點M的坐標為（0，1）．

設(shè)直線MA的表達式為y=kx+b，則．

解得．

∴直線MA的表達式為y=x+1．

設(shè)點D的坐標為（），則點F的坐標為（）．

DF=

=．

當時，DF的最大值為．

此時，即點D的坐標為（）．

（3）存在點P，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似．設(shè)P（m，）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限．

①設(shè)點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，

∴，即m²+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此時滿足條件的點不存在．

②當點P在第三象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，

∴，即m²+11m+24=0．

解得m=﹣3或m=﹣8．此時點P的坐標為（﹣8，﹣15）．

③當點P在第四象限時，若AN=3PN時，則﹣3，即m²+m﹣6=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=2．

當m=2時，．此時點P的坐標為（2，﹣）．

若PN=3NA，則﹣，即m²﹣7m﹣30=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=10，此時點P的坐標為（10，﹣39）．

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．

點評：

本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求法．需注意分類討論，全面考慮點P所在位置的各種情況．