Question

20．已知關于x的一元二次方程ax²-（a+2）x+2=0有兩個不相等的正整數根時，整數a的值是a=1．

Answer 1

分析 由一元二次方程的定義可得出a≠0，再利用根的判別式△=b²-4ac，套入數據即可得出△=（a-2）²≥0，可得出a≠2且a≠0，設方程的兩個根分別為x₁、x₂，利用根與系數的關系可得出x₁•x₂=$\frac{2}{a}$，再根據x₁、x₂均為正整數，a為整數，即可得出結論．

解答 解：∵方程ax²-（a+2）x+2=0是關于x的一元二次方程，
∴a≠0．
∵△=（a+2）²-4a×2=（a-2）²≥0，
∴當a=2時，方程有兩個相等的實數根，
當a≠2且a≠0時，方程有兩個不相等的實數根．
∵方程有兩個不相等的正整數根，
∴a≠2且a≠0．
設方程的兩個根分別為x₁、x₂，
∴x₁•x₂=$\frac{2}{a}$，
∵x₁、x₂均為正整數，
∴$\frac{2}{a}$為正整數，
∵a為整數，a≠2且a≠0，
∴a=1，
故答案為：a=1．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵是：①找出△=（a-2）²≥0；②找出x₁•x₂=$\frac{2}{a}$為正整數．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，由方程的兩根均為整數確定a的值是難點．