Question

如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點A，與直線y=kx相交于點P（2，2

3

）．
（1）求點A的坐標和k的值；
（2）動點E從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著O-P-A的路線向點A勻速運動（E不與點O、A重合），多點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設運動的時間為t秒．
①當點E運動在線段OP上時，若矩形EBOF的面積為3

3

，求t的值；
②設矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點A，可得出A的坐標，由直線y=kx過點P（2，2

3

）．代入可求得k的值．
（2））①由OE=t，可得出EF，OF的值，由矩形EBOF的面積為3

3

，即可解得t的值，
②當0＜t≤4時，EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，S=

1

2

EF•OF=

1

2

×

3

2

t×

1

2

t=

3

8

t²，當4＜t＜8時，由S=S_矩形EBOF-S_△AEF=EF•OF-

1

2

EF•AF求出關(guān)系式關(guān)求出最大值即可．

解答：解：（1）∵y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點A，
∴A的坐標（4，0），
∵直線y=kx過點P（2，2

3

）．
∴2

3

=2k，
k=

3

，
（2）①∵OE=t，
∴EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，
∵矩形EBOF的面積為3

3

，
∴

1

2

×

3

2

t×

1

2

t=3

3

，解得t=2

6

，
②∵OP=

22+(2 3 )2

=4，
∴當0＜t≤4時，EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，
S=

1

2

EF•OF=

1

2

×

3

2

t×

1

2

t=

3

8

t²，
∵如圖，當4＜t＜8時，AE=AP-（t-4）=4-（t-4）=8-t，

∴EF=

3

2

（8-t），AF=

1

2

（8-t），
∴OF=OA-AF=4-

1

2

（8-t）=

1

2

t，
在△OBM和△EFA中，

OM=AE OB=EF

，
∴△OBM≌△EFA（HL），
∴S=S_矩形EBOF-S_△AEF=EF•OF-

1

2

EF•AF=

3

2

（8-t）×

1

2

t-

1

2

×

3

2

（8-t）×

1

2

（8-t）=-

3 3

8

（t-

16

3

）²+

8 3

3

，
∴S的最大值是

8 3

3

．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題，解題的關(guān)鍵是分兩種情況正確列出S與T的關(guān)系式．