Question

如圖1，已知直線y=-x與拋物線y=-x²+6交于A，B兩點。

（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求線段AB的垂直平分線的解析式；
（3）如圖2，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A，B兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A，B構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由。

Answer 1

解：（1）依題意得，解之得， ∴A（6，-3），B（-4，2）； （2）作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C，D兩點， 交AB于M（如圖1）， 由（1）可知：OA=3，OB=2， ∴AB=5， ∴， 過B作BE⊥x軸，E為垂足， 由△BEO∽△OCM，得：， ∴OC=， 同理：， ∴， 設(shè)CD的解析式為y=kx+b（k≠0） ∴，∴， ∴AB的垂直平分線的解析式為：； （3）若存在點P使△APB的面積最大， 則點P在與直線AB平行且和拋物線只有一個交點的直線y=-x+m上， 并設(shè)該直線與x軸，y軸交于G，H兩點（如圖2）， ∴， ∴， ∵拋物線與直線只有一個交點， ∴， ∴m=， ∴P（1，） 在直線GH：中， ∴， ∴GH=， 設(shè)O到GH的距離為d， ∵， ∵， ∴d=， 又∵由AB∥GH， ∴P到AB的距離等于O到GH的距離d， ∴S最大面積=。