Question

已知等邊△ABC，點(diǎn)D在直線BC上，點(diǎn)E在直線AC上，BD=CE，連接AD、BE，直線AD、直線BE交于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，如圖1，求證：∠AFE=2∠ABD；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，如圖2，猜想∠AFE和∠ABD的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足為H，BE=4，DF=1，求FH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證△BCE≌△ABD，即可求得∠D=∠E，即可證明∠AFE=ACD，即可解題；
（2）易證△BCE≌△ABD，即可求得∠D=∠E，即可證明∠AFE=ACD，即可解題；
（3）作AH⊥EF，根據(jù)（2）中結(jié)論可得AD=BE，即可求得AF的長(zhǎng)，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半即可求得FH的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵在△BCE和△ABD中，

AB=BC ∠ABC=∠ACB BD=CE

，
∴△BCE≌△ABD，（SAS）
∴∠D=∠E，
∴∠AFE=∠FBD+∠D=∠FBD+∠E=∠ACD=120°，
∵∠ABD=60°，
∴∠AFE=2∠ABD；
（2）∵在△BCE和△ABD中，

AB=BC ∠ABC=∠ACB BD=CE

，
∴△BCE≌△ABD，（SAS）
∴∠D=∠E，
∵∠AFE=∠D+∠DBF，∠DBF=∠CBE，
∴∠AFE=∠E+∠CBE=∠ACB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠ABD=2∠AFE；
（3）作AH⊥EF，

∵△BCE≌△ABD，
∴AD=BE，
∴AF=AD-DF=3．
∵∠AFE=60°，
∴∠FAH=30°，
∴FH=

1

2

AF=1.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求證△BCE≌△ABD是解題的關(guān)鍵．