Question

9．如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使點(diǎn)B、D恰好落在AC邊上的點(diǎn)F、H處，CE與AG為折痕．
（1）證明：四邊形AECG是平行四邊形；
（2）連接GF、HE，判斷四邊形GFEH的形狀．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，可得AD∥BC，AB∥CD，又由平行線的性質(zhì)，可得∠DAC=∠BCA，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠1=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠2=$\frac{1}{2}$∠BCA，即可證得AG∥CE，根據(jù)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形AECG是平行四邊形．
（2）證明△ADG≌△CBE得出GH∥EF，GH∥EF繼而可判斷四邊形GFEH的形狀．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠BCA，
由折疊的性質(zhì)可得：∠GAH=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
∴四邊形AECG是平行四邊形．
（2）解：四邊形GFEH是平行四邊形；理由如下：如圖所示：
根據(jù)題意可知：GH⊥AC，EF⊥AC
∴EF∥GH，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠D=∠B=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
由折疊可知，∠1=∠2，∠3=∠4，DG=GH，BE=EF，
∴∠1=∠4，
在△ADG和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\\{∠1=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴DG=BE，
∴GH=EF，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四邊形GFEH是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題（2）的關(guān)鍵．