Question

如圖，△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′=3，BC=B′C′=4，AB=A′B′=5，將頂點(diǎn)C′與C重合，△A′B′C′繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，A′C′交AB于點(diǎn)E，A′B′交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)A′C′⊥AB時(shí)，判斷△C′DB′和△A′C′D的形狀；
（2）當(dāng)△ACE為等腰三角形時(shí)，求出此時(shí)AE的值．

Answer 1

解：（1）∵3²+4²=5²，
∴△ABC，△A′B′C′都是直角三角形，且△ABC≌△A′B′C′．
∴∠B=∠B′．
當(dāng)A′C′⊥AB時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知∠ACE=∠B′CB，
由互余關(guān)系可得∠ACE=∠B，
∴∠BCB'=∠B′，
∴∠BCB'=∠B，
∴△C′DB′是等腰三角形．
同理得△A′C′D也是等腰三角形．

（2）△ACE為等腰三角形，有三種可能．
①當(dāng)AE=AC時(shí)，AE=AC=3；
②當(dāng)AE=EC時(shí)，E點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，AE=AB=2.5；
③當(dāng)AC=CE時(shí)，過C點(diǎn)作AB邊上的高CM．
由面積法得CM•AB=AC•BC，
∴CM=2.4，
∴AM==1.8，
∴AE=2AM=3.6．
故AE=3或2.5或3.6．
分析：（1）首先運(yùn)用勾股定理的逆定理證明△ABC，△A'B'C'都是直角三角形，然后證明當(dāng)A′C′⊥AB時(shí)，∠ACE=∠B，而由∠B=∠B'，得出∠BCB'=∠B'，從而證明△C′DB′是等腰三角形．同理得出△A′C′D也是等腰三角形．
（2）當(dāng)△ACE為等腰三角形時(shí)，有三種可能：AE=AC；AE=EC；AC=CE．需要分類求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要學(xué)會(huì)運(yùn)用勾股定理解決直角三角形中的線段問題．