Question

19．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，若AC=3AE，則tan∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 要求tan∠ABC的值，只要求除∠C的正切值即可，因為AB=AC，則∠ABC=∠C，要求∠C的正切值，則需要構(gòu)造直角三角形，因而連接BE，由于AB是直徑，則∠BEA=90°，然后根據(jù)題目中的條件可以求出BE、CE的長，從而可以得到∠C的正切值，本題得以解決．

解答 解：連接BE，如下圖所示，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AC=3AE，AB=AC，
∴設(shè)AE=x，則AB=AC=3x，∠ABC=∠C，
∴$BE=\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}=2\sqrt{2}x$，
∴tan∠C=$\frac{BE}{CE}=\frac{BE}{AE+AC}=\frac{2\sqrt{2}x}{x+3x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造直角三角形，然后找出所求問題需要的條件進(jìn)行解答．