Question

6．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)E，DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB．
（3）如圖3，若∠EDF的兩邊分別交AB、AC的延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)直接寫出線段BE、AB、CF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明∠BED=90°，根據(jù)直角三角形30度角性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要證明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解決問(wèn)題．
（3）（2）中的結(jié)論不成立．結(jié)論：BE-CF=$\frac{1}{2}$AB，證明方法類似（2）．

解答 解：（1）如圖1中，

∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，
∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，
∴∠CDF=30°，
又∵∠EDF=120°，
∴∠EDB=30°，
∴∠BED=90°
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1．

（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB．

（3）結(jié)論不成立．結(jié)論：BE-CF=$\frac{1}{2}$AB．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．