Question

如圖，拋物線y=x²-2x+c的頂點A在直線_l：y=x-5上。
（1）求拋物線頂點A的坐標；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀；
（3）在直線_l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵頂點A的橫坐標為x==1，且頂點A在y=x-5上，
∴當(dāng)x=1時，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）；
（2）△ABD是直角三角形，
將A（1，-4）代入y=x²-2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3，
∴y=x²-2x-3，∴B（0，-3）
當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，x₁=-1，x₂=3
∴C（-1，0），D（3，0），
BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，
即△ABD是直角三角形；
（3）存在．
由題意知：直線y=x-5交y軸于點A（0，-5），交x軸于點F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，
即PA∥BD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，
如圖，過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線并交于點C設(shè)P（x₁，x₁-5），
則G（1，x₁-5）
則PC=|1﹣x₁|，AG=|5﹣x₁﹣4|=|1﹣x₁|PA=BD=3
由勾股定理得：（1-x₁）²+（1-x₁）²=18，
x₁²-2x₁-8=0，x₁=-2，4
∴P（-2，-7），P（4，-1）
存在點P（-2，-7）或P（4，-1）使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形。