Question

18．設(shè)G是△ABC的重心，M是邊AC的中點，且AC=2$\sqrt{3}$GM，D是GA延長線上任一點，連接DM，并在DM上取一點E，使∠AED=∠CAG，作CF∥AB與直線BE交于點F，CD與MF交于點H，求證：
（1）A、B、M、E四點共圓；
（2）∠DHF=∠BAC．

Answer 1

分析 （1）要證A、B、M、E四點共圓，只需證∠AED=∠ABM，由于∠AED=∠CAG，只需證∠CAG=∠ABM，只需證△MAG∽△MBA，只需證到$\frac{MG}{MA}=\frac{MA}{MB}$即可；
（2）連接EC，由A、B、M、E四點共圓及AB∥CF可得∠AME=∠ABE=∠CFE，由此可得M、E、F、C四點共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠MEC=∠MFC．由AB∥CF可得∠BAC=∠MCF，要證∠DHF=∠BAC，只需證∠DHF=∠MCF，只需證∠MFC=∠MCD，只需證∠MCD=∠MEC，只需證△MEC∽△MCD，只需證$\frac{MC}{MD}$=$\frac{ME}{MC}$，由于MC=MA，只需證$\frac{MA}{MD}=\frac{ME}{MA}$，只需證△MAE∽△MDA，只需證∠DAM=∠AEM，由于∠AED+∠AEM=180°，∠CAG+∠DAM=180°，只需證到∠AED=∠CAG（已知）即可．

解答 證明：（1）∵M(jìn)是邊AC的中點，AC=2$\sqrt{3}$GM，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$GM．
∵G是△ABC的重心，∴MB=3GM，
∴MG•MB=3MG²=AM²，
∴$\frac{MG}{MA}=\frac{MA}{MB}$．
又∵∠AMG=∠BMA，
∴△MAG∽△MBA，
∴∠MAG=∠ABM．
∵∠AED=∠MAG，
∴∠AED=∠ABM，
∴A、B、M、E四點共圓；

（2）連接EC，如圖．
∵A、B、M、E四點共圓，∴∠ABE=∠AME．
∵AB∥CF，∴∠ABE=∠CFE，
∴∠AME=∠CFE，
∴M、E、F、C四點共圓，
∴∠MEC=∠MFC．
∵∠AED=∠CAG，∠AED+∠AEM=180°，∠CAG+∠DAM=180°，
∴∠DAM=∠AEM．
又∵∠AME=∠DMA，
∴△MAE∽△MDA，
∴$\frac{MA}{MD}=\frac{ME}{MA}$．
∵M(jìn)A=MC，∴$\frac{MC}{MD}$=$\frac{ME}{MC}$．
又∵∠EMC=∠CMD，
∴△MEC∽△MCD，
∴∠MEC=∠MCD，
∴∠MFC=∠MEC=∠MCD，
∴∠DHF=∠HCF+∠MFC=∠HCF+∠MCD=∠MCF．
∵AB∥CF，∴∠BAC=∠MCF，
∴∠DHF=∠BAC．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、三角形的重心等知識，有一定的難度，證到△MAG∽△MBA是解決第1小題的關(guān)鍵，證到△MEC∽△MCD及M、E、F、C四點共圓是解決第2小題的關(guān)鍵．