Question

（2013•南崗區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，連接AC，點(diǎn)0為對(duì)稱中心，點(diǎn)P在AC上，若OP=

5

2

，tan∠DCA=

1

2

，∠ABC=120°，BC=2

3

，則AP=

2

5

或

5

．

Answer 1

分析：首先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由平行四邊形ABCD中，∠ABC=120°，BC=2

3

，可求得AE的長(zhǎng)，又由tan∠DCA=

1

2

，可求得AC的長(zhǎng)，然后分別從點(diǎn)P在OA上與點(diǎn)P在OC上去分析求解即可求得答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，BC=2

3

，
∴∠ADC=∠ABC=120°，AD=BC=2

3

，
∴∠ADE=60°，
∴∠EAD=30°，
∴ED=

1

2

AD=

3

，
∴AE=

AD2-ED2

=3，
∵tan∠DCA=

1

2

，
∴EC=2AE=6，
∴AC=

AE2+EC2

=3

5

，
∴OA=

1

2

AC=

3

2

5

，
若點(diǎn)P在OA上，則AP=OA-OP=

5

；
若點(diǎn)P在OC上，AP=OA+OP=2

5

．
∴AP=

5

或2

5

．
故答案為：

5

或2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．