Question

15．如圖，正方形ABCD邊長為4，點E、F分別在邊BC、CD上，且CF=1．
（1）如圖1，若E為BC的中點，請你證明△AEF是直角三角形；
（2）若E點在BC邊內(nèi)運動，當BE為多少時，（E為BC的中點），△AEF為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=4，由勾股定理及勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；
（2）證明△ABE∽△ECF，得出對應邊成比例$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{CE}$，得出BE•CE=4，再由BE+CE=4即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=4，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE=2，
由勾股定理得：
AE²=AB²+BE²=4²+2²=20，
EF²=CE²+CF²=2²+1²=5，
AF²=AD²+DF²=4²+3²=25，
∴AE²+EF²=AF²，
∴△AEF是直角三角形；
（2）解：當BE=2時，△AEF為直角三角形；理由如下：
如圖所示：∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{CE}$，
即$\frac{BE}{1}=\frac{4}{CE}$，
∴BE•CE=4，
又∵BE+CE=4，
∴BE=CE=2，
即當BE=2時，△AEF為直角三角形．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．