Question

7．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且BD=CE=2，BE=CF．
（1）求證：△DEF是等邊三角形；
（2）若∠DEC=150°，求等邊△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)易得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，由已知易得BD=CE=AF，AD=BE=CF，可得△BDE≌△CEF≌△AFD，由全等三角形的性質(zhì)可得DE=FD=EF，證得結(jié)論；
（2）首先由∠DEC=150°，易得∠FEC=90°，可得△ADF、△BED、△CFE均為直角三角形，可得∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，由直角三角形的性質(zhì)可得CF=AD=BE=2BD=4，可得AB，易得結(jié)果．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵BD=CE，BE=CF，
∴BD=CE，BE=CF，
∴BD=CE=AF，AD=BE=CF，
在△BDE與△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
同理可得△BDE≌△AFD，
∴DE=FD，
∴DE=FD=EF，
∴△DEF為等邊三角形；

（2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，
∴∠FEC=90°，
∴△ADF、△BED、△CFE均為直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，
∵BD=CE=2，
∴CF=AD=BE=2BD=4，
∴AB=BC=AC=6，
∴等邊△ABC的周長為：6×3=18．

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定和全等三角形的性質(zhì)及判定，綜合利用各定理是解答此題的關(guān)鍵．