Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45°，直角三角尺含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊交CD于點F．若△ABE為等腰三角形，求CF的長．

Answer 1

解：如圖，過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4，
∴BM=（BC-AD）=（4-）=，∠C=∠B=45°，
∵∠B=45°，
∴AB=BM=×=3，
①如圖1，AE=BE時，∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=，
∴CE=BC-BE=4-=，
又∵∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-90°-45°=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=CE=×=；
②如圖2，AB=BE時，∵∠B=45°，
∴∠AEB=（180°-∠B）=（180°-45°）=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠C-∠CEF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∵BC=4，AB=3，
∴CF=CE=BC-BE=4-3；
③如圖3，AB=AE時，∠AEB=∠B=45°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，
∴BE=AB=3，
CE=BC-BE=4-3=，
∴CF=CE=×=2；
綜上所述，CF的長為或4-3或2．
分析：過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，根據等腰三角形的性質求出BM的長度，再求出AB，然后分①AE=BE時，△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，求出BE的長，再求出CE的長，然后根據局等腰直角三角形的性質求解即可；②AB=BE時，先求出CE的長度，再求出∠AEB的度數，再根據平角等于180°求出∠CEF，然后求出∠CFE，根據度數得到∠CEF=∠CFE，根據等角對等邊的性質可得CF=CE；③AB=AE時，判斷出△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質求解即可．
點評：本題考查了等腰梯形的性質，等腰直角三角形的性質，熟記性質是解題的關鍵，難點在于根據腰長的不同，分情況討論．