Question

19．如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點P，BQ⊥AD于點Q．求證：PQ=$\frac{1}{2}$BP．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的判定方法SAS可證得△BEC≌△ADB，根據(jù)各角的關(guān)系及三角形內(nèi)角、外角和定理可證得∠BPQ=60°，即可得結(jié)論．

解答 證明：∵△ABC為等邊三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}&{\;}\\{∠BAC=∠ACB}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ為△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到等邊三角形、直角三角形、三角形內(nèi)角及外角和定理等知識點，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．