Question

如圖，在直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形OABC是平行四邊形，點A的坐標為（14，0），點B的坐標為（18，4

3

）．
（1）求點C的坐標和平行四邊形OABC的對稱中心的點的坐標；
（2）動點P從點O出發(fā)，沿OA方向以每秒1個點位的速度向終點A勻速運動，動點Q從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個單位的速度向終點B勻速運動，一點到達終點時另一點停止運動．設(shè)點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△PQC的面積是平行四邊形OABC的一半？
（3）當△PQC的面積是平行四邊形OABC面積的一半時，在平面直角坐標系中找到一點M，使以M、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形與直角坐標系中坐標的性質(zhì)，可直接寫出點C的坐標；平行四邊形OABC的對稱中心即是對角線的中點；
（2）S_△PQC=S_?ABCD-S_△OPC-S_△APQ-S_△BCQ=

1

2

S_?ABCD，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，繼而求出此時的t值即可；
（3）根據(jù)（2）中得出的t值，找出此時點P和Q的位置，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)直接寫出點M的坐標即可．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AO=BC=14，
∵點A的坐標為（14，0），點B的坐標為（18，4

3

），
∴點C的坐標為（4，4

3

），平行四邊形OABC的對稱中心的點的坐標為（9，2

3

）．

（2）根據(jù)題意得：S_△PQC=S_?ABCD-S_△OPC-S_△APQ-S_△BCQ=

1

2

S_?ABCD，
∴

1

2

×14×4

3

=

1

2

×t×4

3

+

1

2

（14-t）×

3

t+

1

2

×14×（4

3

-

3

t）
化簡得：

3

2

t²-2

3

t=0，
解得：t=4或0，
即當點P運動4秒或0秒時，△PQC的面積是平行四邊形OABC的一半．

（3）由（2）知，此時點Q與點B重合，畫出圖形如下所示，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知點M₁的坐標為M₁（18，0），M₂（-10，0），M₃（18，8

3

）．

點評：本題考查平行四邊形的性質(zhì)及一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是第二問，根據(jù)S_△PQC=S_?ABCD-S_△OPC-S_△APQ-S_△BCQ=

1

2

S_?ABCD準確列出方程式，求出滿足題意的t值，有一定的難度，同時要注意細心運算．