Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-5ax+4a（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為D，連接BD。

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）若AD⊥BC，垂足為P，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若直線x=m把△ABD的面積分為1：2的兩部分，求m的值。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸交于A、B兩點 ∴ax2-5ax+4a=0 ∵a≠0 ∴x2-5x+4=0， 解得x1=1，x2=4 ∴A（1，0），B（4，0）。
（2）連結(jié)AC、CD， 由對稱性知：四邊形ABDC 是等腰梯形 ∴∠CAB=∠DBA 在△ABC與△BAD中，AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA ∴△ABC≌△BAD ∴∠1=∠2 ∵AD⊥BC ∴∠1=∠2=45° ∵∠BOC=90° ∴∠OCB=∠1=45° ∴OC=OB=4 ∴C（0，4） 把C（0，4）的坐標(biāo)代入y=ax2-5ax+4a 得4a=4 ∴a=1 ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-5x+4。
（3）S△ABD=×3×4=6 設(shè)直線x=m與AD、AB分別交于M、N， 則AN=m-1 由（2）得∠1=45°，∠2=90° ∴MN=AN=m-1 ∴S△AMN=（m-1）2 當(dāng)S△AMN=S△ABD時，（m-1）2=×6 　　 解得m=3（負(fù)值舍去） 當(dāng)S△AMN=S△ABD時，（m-1）2=×6 解得m=+1（負(fù)值舍去） 過B作BE⊥AB交AD于E，則S△ABE=4.5， S△ABD=4， ∵4.5＞4 ∴點N在線段AB上　 ∴m＜4 綜上所述，m的值為3或+1。