Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，AO⊥BO，∠B=30°，點B在y=$\frac{3}{x}$的圖象上，求過點A的反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，如圖，設(shè)B（m，$\frac{3}{m}$），在Rt△ABO中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=$\sqrt{3}$OA，再證明Rt△AOD∽Rt△OBE，利用相似比得到AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，則A點坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），設(shè)點B所在反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易得k=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=-1，從而得到反比例函數(shù)解析式．

解答 解：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，如圖，設(shè)B（m，$\frac{3}{m}$）
在Rt△ABO中，∵∠B=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$OA，
∵∠AOD=∠OBE，
∴Rt△AOD∽Rt△OBE，
∴$\frac{AD}{OE}$=$\frac{OD}{BE}$$\frac{OA}{OB}$=，即$\frac{AD}{m}$=$\frac{OD}{\frac{3}{m}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，
∴A點坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
設(shè)點A所在反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=-1，
∴點B所在反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{x}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．