Question

已知：如圖，等邊△ABC中，AB=1，P是AB邊上一動點，作PE⊥BC，垂足為E；作EF⊥AC，垂足為F；作FQ⊥AB，垂足為Q．
（1）設BP=x，AQ=y，求y與x之間的函數關系式；
（2）當點P和點Q重合時，求線段EF的長；
（3）當點P和點Q不重合，但線段PE、FQ延長線相交時，求它們與線段EF圍成的三角形周長的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，AB=1．
∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=CA=AB=1．
又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°，BP=x．
∴BE=x，CE=1-x，CF=-x，AF=1-（-x）=+x．
∴AQ=AF=（+x），
∴y=x+．

（2）由方程組
得x=．
∴當點P和點Q重合時，x=，
∴EF=CF=（-x）=．

（3）設線段EP、FQ的延長線相交于點M，
∵EF⊥AC，
∴∠3+∠QFE=90°，
∵FQ⊥AB，
∴∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠QFE=60°，
∵∠1+∠C=90°，
∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C=60°，
∴△MEF是等邊三角形，
且當點P和點A重合時，EF最短為．
∴≤m＜．
分析：（1）由已知等邊△ABC中，可得每個角都是60°，由作PE⊥BC，垂足為E；作EF⊥AC，垂足為F；作FQ⊥AB，垂足為Q，得三個直角三角形且都有30°的角，據此用x可表示出BE，CE，CF，相繼表示出AF，AQ，求出y與x之間的函數關系式．
（2）由已知可列出方程組結合已知求出EF的長．
（3）當線段PE、FQ相交時，根據已知得到它們與線段EF圍成的三角形三個角都是60°．
點評：此題考查的是等邊三角形判定和性質以及一次函數問題，解題的關鍵是由已知等邊三角形和已知作的垂線得30°角的直角三角形求解．