Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤5），連接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN與△ABC相似，求t的值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=10，BC=5 ．

由題意知：BM=2t，CN= t，

∴BN=5 - t，

∵BM=BN，

∴2t=5 - t

解得： ．

（2）

解：分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，

則 ，即 ，

解得：t= ．

②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，

則 ，即 ，

解得：t= ．

綜上所述：當(dāng)t= 或t= 時(shí)，△MBN與△ABC相似．

（3）

解：過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，

∴△BMD∽△BAC，

∴ ，

即 ，

解得：MD=t．

設(shè)四邊形ACNM的面積為y，

∴y= = = ．

∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t= 時(shí)，y的值最�。�

此時(shí)， ．

【解析】（1）由已知條件得出AB=10，BC=5 ． 由題意知：BM=2t，CN= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，證出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積﹣△BMN的面積，得出y是t的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．