Question

12．如圖①，點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作射線(xiàn)OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線(xiàn)OB上，另一邊ON在直線(xiàn)AB的下方
（1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)至圖②，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問(wèn)：直線(xiàn)ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線(xiàn)ON恰好平分∠AOC，求旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的值．
（3）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)至圖③的位置，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由角的平分線(xiàn)的定義和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠BON=30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)ON平分∠AOC，據(jù)此求解；
（3）因?yàn)椤螹ON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解答 解：（1）直線(xiàn)ON平分∠AOC．理由：
設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線(xiàn)為OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（對(duì)頂角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直線(xiàn)ON平分∠AOC．
（2）∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=∠COD=30°，
即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)ON平分∠AOC，
由題意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了角平分線(xiàn)的定義，應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀(guān)察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．