Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx-2m²（m≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，它的頂點在以AB為直徑的圓上．
（1）證明：A、B是x軸上兩個不同的交點；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)以AB為直徑的圓與y軸交于C，D，求弦CD的長．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）求出根的判別式，然后根據(jù)根的判別式大于0即可判斷與x軸有兩個交點；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的長度，也就是圓的直徑，根據(jù)頂點公式求出頂點的坐標得到圓的半徑，然后根據(jù)直徑是半徑的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函數(shù)解析式便不難求出函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，求出圓的半徑，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦長，弦CD的長等于半弦的2倍．

解答：（1）證明：∵y=x²-2mx-2m²（m≠0），
∴a=1，b=-2m，c=-2m²，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（-2m²）=4m²+8m²=12m²，
∵m≠0，
∴△=12m²＞0，
∴A，B是x軸上兩個不同的交點；

（2）設(shè)AB點的坐標分別為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-

b

a

=2m，x₁•x₂=

c

a

=-2m²，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x 1+x  2) 2 -4x 1x 2

=2

3

|m|，
∵拋物線的頂點坐標為：（m，-3m²），且在以AB為直徑的圓上，
∴AB=2×3m²，
∴2

3

|m|=6m²，
∴m=±

3

3

，
∴y=x²±

2 3

3

x-

2

3

；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，圓的半徑為

1

2

×6m²=

1

2

×2=1，
弦CD的弦心距為|m|=

3

3

，
∴

1

2

CD=

1 2- ( 3 3

) 2=

6

3

，
∴CD=

2 6

3

．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)與x軸的交點的個數(shù)的判斷，根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的半徑，弦心距，半弦長構(gòu)成直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，綜合性較強，但難度不是很大仔細分析求解便不難解決．