Question

如圖：△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB與AC、AE分別交于點(diǎn)O、E，連接EC.

1.求證：AD=EC；（4分）

2.當(dāng)∠BAC=90º時(shí),求證:四邊形ADCE是菱形；（3分）

3.在(2)的條件下,若AB=AO,且OD=,求菱形ADCE的周長(zhǎng).（5分）

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵AE∥BC，DE∥AB   ∴四邊形ABDE是平行四邊形（1分）

∴AE=BD  ∵D是BC中點(diǎn) ∴DC=DB（2分）

∴AE=DC ，AE∥DC ∴四邊形ADCE是平行四邊形（3分）

∴AD=EC（4分）

2.當(dāng)∠BAC=90º時(shí)，AD是Rt△ABC斜邊上的中線，（5分）

∴AD=（6分）

∴四邊形ADCE是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）（7分）

3.∵ADCE是菱形  ∴對(duì)角線AC⊥DE且O是DE中點(diǎn)（8分）

∵ABDE是平行四邊形 ∴AB=DE 又已知AB=AO

∴AO=DE=2DO=2 （10分）

在Rt△AOD中，可求出AD= （11分）

∴菱形ADCE的周長(zhǎng)為4（12分）

【解析】（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形，即得AD=CE；

（2）由∠BAC=90°，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；

（3）利用菱形和平行四邊形的性質(zhì)求出菱形一邊的長(zhǎng)度，然后再求出它的周長(zhǎng)。