Question

9．已知拋物線y₁=ax²+bx+c對(duì)稱軸是直線l，頂點(diǎn)為M，若自變量x的函數(shù)值y₁的部分對(duì)應(yīng)值如表所示

x	…	-1	1	3	…
y1=ax2+bx+c	…	0	3	0	…

（1）求y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)，線段AM的垂直平分線交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為P，記作P（x，y₂）
①用含x和t的代數(shù)式表示y₂；
②當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，若對(duì)于同一個(gè)x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意拋物線與x軸交于點(diǎn)（-1，0），（3，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），把（1，3）代入求出a即可．
（2）先根據(jù)（I）中y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
①記直線l與直線l′交于點(diǎn)C（1，t），當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C不重合時(shí)，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥l，再由點(diǎn)P（x，y₂）可知點(diǎn)A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y₂-t|，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y₂），故QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，在Rt△PQM中，根據(jù)勾股定理即可得出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再由當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)題意，借助函數(shù)圖象：當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向上時(shí)，可知6-2t＞0，即t＜3時(shí)，拋物線y₁的頂點(diǎn)M（1，3），拋物線y₂的頂點(diǎn)（1，$\frac{t+3}{2}$），由于3＞$\frac{t+3}{2}$，所以不合題意，當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向下時(shí)，6-2t＜0，即t＞3時(shí)，求出y₁-y₂的值；若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要拋物線方向及頂點(diǎn)（1，$\frac{3-t}{2}$）在x軸下方，因?yàn)?-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞$\frac{11}{3}$，符合題意；若3t-11=0，y₁-y₂=-$\frac{1}{3}$＜0，即t=$\frac{11}{3}$也符合題意．

解答 解：（1）由題意拋物線與x軸交于點(diǎn)（-1，0），（3，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（1，3）代入得到a=-$\frac{3}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3），
即y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$．

（2））∵y₁=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$，
∴y₁=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+3，
∴直線l為x=1，頂點(diǎn)M（1，3）．
①由題意得，t≠3，
如圖，記直線l與直線l′交于點(diǎn)C（1，t），當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合時(shí)，
∵由已知得，AM與BP互相垂直平分，
∴四邊形ABMP為菱形，
∴PA∥l，
又∵點(diǎn)P（x，y₂），
∴點(diǎn)A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=|y₂-t|，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y₂），
∴QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，
在Rt△PQM中，
∵PM²=QM²+PQ²，即（y₂-t）²=（y₂-3）²+（x-1）²，整理得，y₂=$\frac{1}{6-2t}$（x-1）²+$\frac{t+3}{2}$，
即y₂=$\frac{1}{6-2t}$x²-$\frac{1}{3-t}$x+$\frac{10-{t}^{2}}{6-2t}$，
∵當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，
∴P（1，$\frac{t+3}{2}$），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，
∴y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₂=$\frac{1}{6-2t}$x²-$\frac{1}{3-t}$x+$\frac{10-{t}^{2}}{6-2t}$（t≠3）；

②根據(jù)題意，借助函數(shù)圖象：
當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向上時(shí)，6-2t＞0，即t＜3時(shí)，拋物線y₁的頂點(diǎn)M（1，3），拋物線y₂的頂點(diǎn)（1，$\frac{t+3}{2}$），
∵3＞$\frac{t+3}{2}$，
∴不合題意，
當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向下時(shí)，6-2t＜0，即t＞3時(shí)，
y₁-y₂=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+3-[$\frac{1}{6-2t}$（x-1）²+$\frac{t+3}{2}$]
=$\frac{3t-11}{4（3-t）}$（x-1）²+$\frac{3-t}{2}$，
若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，
只要拋物線y=$\frac{3t-11}{4（3-t）}$（x-1）²+$\frac{3-t}{2}$開(kāi)口方向向下，且頂點(diǎn)（1，$\frac{3-t}{2}$）在x軸下方，
∵3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞$\frac{11}{3}$，符合題意；
若3t-11=0，y₁-y₂=-$\frac{1}{3}$＜0，即t=$\frac{11}{3}$也符合題意．
綜上，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范圍是t≥$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法二次函數(shù)解的解析式、勾股定理及二次函數(shù)的性質(zhì)，解答此類題目時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．