Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；
（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n）是拋物線y=ax²+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積。

Answer 1

解：（1）因?yàn)楫?dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故b=0
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-4，3）、B（2，0）代入到y(tǒng)=ax²+bx+c，得
 ，解得
∴這條拋物線的解析式為y=x²-1
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-4，3）、B（2，0）代入到y(tǒng)=kx+b，得
，解得
∴這條直線的解析式為y=-x+1。
（2）依題意，OA=
即⊙A的半徑為5
而圓心到直線l的距離為3+2=5
即圓心到直線l的距離=⊙A的半徑，
∴直線l與⊙A相切。
（3）由題意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）
由（2）中點(diǎn)A到原點(diǎn)距離跟到直線y=-2的距離相等，且當(dāng)點(diǎn)A成為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，仍然具有這樣的性質(zhì)，于是過(guò)點(diǎn)D作DH⊥直線l于H，交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)易得DH是D點(diǎn)到l最短距離，
點(diǎn)P坐標(biāo)（-1，-），此時(shí)四邊形PDOC為梯形，面積為。