Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠CAB=90°，以AB為直徑的⊙O交斜邊BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若∠F=30°，AB=4，求DF、EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接BD、DO，只要證明∠ODE=90°，OD是半徑，就可得到DE是⊙O的切線．
（2）利用Rt△ODF∽R(shí)t△EAF的性質(zhì)來(lái)求DF、EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接BD，DO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠CDA=90°
又∵E為AC的中點(diǎn)，
∴CE=EA，
∴∠1=∠4．
∵OD=OA，
∴∠2=∠3．
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，即∠EDO=90°，
又∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：由（1）知，∠ODF=90°．
在Rt△ODF中，∠F=30°，OD=

1

2

AB=2，
∴OF=4，DF=

42-22

=2

3

．
在Rt△ODF與Rt△EAF中，
∵∠ODF=∠EAF=90°，∠F=∠F，
∴Rt△ODF∽R(shí)t△EAF，
∴

OF

EF

=

DF

AF

，即

4

EF

=

2 3

6

，
則EF=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．