Question

已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，關(guān)于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a、b是方程x²-12x+6=0的兩個(gè)根，求△ABC中最長(zhǎng)邊上的高．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：先根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根判斷出△ABC是以c為斜邊的直角三角形，則所求最長(zhǎng)邊上的高即為斜邊上的高．再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式求出c的值，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可解答．

解答：解：∵關(guān)于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4a²-4（b+c）（c-b）=0，即4（a²+b²-c²）=0，即a²+b²=c²，
∴此三角形是以c為斜邊的直角三角形．
∵a、b是方程x²-12x+6=0的兩個(gè)根，
∴a+b=12，ab=6，
∴c²=a²+b²=（a+b）²-2ab=144-12=132，
∴c=2

33

．
設(shè)△ABC中斜邊上的高為h．
∵S_△ABC=

1

2

ch=

1

2

ab，
∴h=

ab

c

=

6

2 33

=

33

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理的逆定理、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式及三角形的面積公式，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．