Question

如圖，以△ABC的BC邊為直徑作圓O，分別交AC、AB于E、F兩點，過A作圓O的切線，切點為D，并且點E、F為劣弧

CD

的三等分點，求∠CAD的大�。�

Answer 1

分析：根據(jù)已知得出△ABC為等腰三角形，進而利用切割線定理求出AD=

2

l，從而得出BD=

2

r，即可得出∠ABC=∠DAB=30°，∠BAC=75°，得出答案．

解答：解：連接BE、BD、DF、OD，設(shè)圓O半徑為r，EC長為l，
∵E為弧CF的中點，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥CE，
∴△ABC為等腰三角形，
即AB=BC=2r，AE=EC=l，
∵E，F(xiàn)為弧CD的三等分點，
∴DF=EC=L，
∵AD，AC分別為⊙O的切線和割線，
∴AD²=AE•AC，即AD=

2

l，
又∵△ADF∽△ABD，
∴

AD

DF

=

AB

BD

，
即BD=

2

r，
∵BD²=DO²+OB²，
∴∠DBO=45°，
∵∠DBF=∠FBE=∠EBC，
AB=BC，
∴∠ABC=∠DAB=30°，
∠BAC=75°，
∴∠CAD=105°．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練利用切割線定理得出AD=

2

l，BD=

2

r是解題關(guān)鍵．