Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別為BC、AC邊上的點(diǎn)．請(qǐng)你判斷一下S_△DEF與S_△ADF+S_△BDE的大小關(guān)系，并證明．

Answer 1

解：S_△DEF≤S_△ADF+S_△BDE．
理由如下：連接CD，設(shè)=x，=y，（0≤x≤1，0≤y≤1），△ABC的面積=S，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴S_△ACD=S_△BCD=S_△ABC=S，
又∵S_△ADF=（1-y）S_△ACD=（1-y）•S，
S_△BDE=（1-x）S_△BCD=（1-x）•S，
∴S_△ADF+S_△BDE=（1-y）•S+（1-x）•S=（2-x-y）•S，
又∵S_△CEF=xy•S，
∴S_△DEF=S-（2-x-y）•S-S•xy=S（x+y-2xy），
∴（S_△ADF+S_△BDE）-S_△DEF=（2-x-y）•S-S（x+y-2xy）=S（2-2x-2y+2xy）=S（1-x-y+xy）=S（1-x）（1-y），
∵0≤x≤1，0≤y≤1，
∴S（1-x）（1-y）≥0恒成立，
當(dāng)點(diǎn)E與B重合或點(diǎn)F與A重合時(shí)，等號(hào)成立，
所以，S_△DEF≤S_△ADF+S_△BDE．
分析：連接CD，設(shè)=x，=y，△ABC的面積=S，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，等高的三角形的面積的比等于底邊的比分別表示出△ACD、△BCD的面積，再表示出△ADF、△BDE的面積以及△CEF的面積，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，等高的三角形的面積等于底邊的比，用△ABC的面積表示出圖中各三角形的面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．